EKONOMETRIKA BAB 7 REGRESI BERGANDA : PENAKSIRAN DAN INFERENSI
Paper pengantar ekonometrika
REGRESI BERGANDA : PENAKSIRAN DAN INFERENSI
Oleh :
Nama Kelompok :
Nurbaiza Marlisa ( 1305102010028 )
Syarifah Ulfami ( 1305102010054 )
Ismatur Rahmi ( 1305102010076 )
May Setyo Ningsih ( 1305102010077 )
Naziratil Husna ( 1305102010080 )
Delsan Maulana ( 1305102010090 )
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS SYIAH KUALA
DARUSSALAM-BANDA ACEH 2015
REGRESI BERGANDA:
PENAKSIRAN DAN INFERENSIASI
7.1. Regresi Berganda
Dengan menganggap Y = f(X2, X3) dan hubungan fungsional; f, adalah linear, maka model regresi berganda (model regression model) untuk tiga variable dapat dinyatakan dalam bentuk:
Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + Ui (7.1)
(i = 1, …, n)
Ingat, variable bebasnya adalah X1i, X2i, dan X3i dengan catatan X1i selalu sama ddengan satu, sehingga tidak perlu ditulis pada persamaan (7.1).
Nilai-nilai β1, β2, dan β3 ditaksir dengan metode kuadrat terkecil (least Square Method) dan menggunakan sampel sebanyak n. pada pembahasan terdahulu telah diketahui kesalahan, ei = Yi – Y^i
Atau
ei = Yi – Y^I = Yi – β^1 – β^2X2i – β3X3i
sehingga:
��i2 = (Yi - β^1 – β^2X2i – β3X3i)2
Penaksiran-penaksiran kuadrat terkecil β1, β2, dan β3, diperoleh dengan menghitung turunan pertama (secara parsial) dari ��i2 terhadap β^1, β^2, dan β^3, dan kemudian disamakan dengan nol:
�� ��i2δβ^1 = -2 (Y1 - β^1 – β^2X2i – β3X3i) = 0 (7.3)
�� ��i2δβ^1 = -2 ��2i(Y1 - β^1 – β^2X2i – β3X3i) = 0 (7.4)
�� ��i2δβ^1 = -2 ��3i(Y1 - β^1 – β^2X2i – β3X3i) = 0 (7.5)
Dengan menjumlahkan dari 1 sampai dengan n, diperoleh tiga persamaan normal:
��I = nβ^1 + β2 ��2i + β3 ��3i (7.6)
��2iY1 = β^1 ��2i + β2 ��2i2 + β3 ��2iX3i (7.7)
��3iY1 = β^1 ��3i + β2 ��2iX3i + β3 ��3i2 (7.8)
Dari (7.6) diperoleh β^1:
β^1 = Ῡ - β^2Xbar2 - β^3Xbar3
substitusikan β^1 ke dalam (7.7) dan (7.8) diperoleh:
��2iYi = (Ῡ - β^2Xbar2 - β^3Xbar3) ��2i + β2 ��2i2 + β3 ��2iX3i
��3iYi = (Ῡ - β^2Xbar2 - β^3Xbar3) ��3i + β2 ��2iX3i + β3 ��3i2
Atau:
��2iYi - Ῡ ��2i = β^2( ��2i2– Xbar2 ��2i) + β^3( ��2iX3i – Xbar ��2i)
��3iYi - Ῡ ��3i = β^2( ��2iX3i – Xbar2 ��3i) + β^3 ( ��3i2 - Xbar ��3i)
Dengan:
��iYi - Ῡ ��I = [(Xi – Xbar)(Yi - Ῡ)] = ��iYi
��i2 - Xbar ��I = [(Xi – Xbar)2 = ��i2
Maka diperoleh persamaan-persamaan normal dalm bentuk variasi:
��2y = β^2 ��22 + β^3 ��2X3 (7.10)
��3y = β^2 ��2X3 + β^3 ��32 (7.11)
Dengan menggabungkan (7.10) dan (7.11) diperoleh β^2 dan β^3
β^₂ = Ʃx2y.Ʃx2− Ʃx2x3.Ʃx₃yƩx22.Ʃx32−(Ʃx2x2)² (7.12)
β^₃ = Ʃx₃y.Ʃx₂² − Ʃx₂x₃.Ʃx₂yƩ��32.Ʃ��32−(Ʃ��2��3)² ( 7.13)
7.2 Hubungan antara koefisien regresi sederhana dengan koefisien regresi berganda.
Persamaan (7.12) dan (7.13) dapt ditulis dalam bentuk definisi koefisien regresi sederhana, sebagai berikut:
Y atas X₂: Yᵢ = β₁.₂ + β₁₂X₂ᵢ + U(1.2)i
Jadi: β^₁₂ = Ʃ��₂��Ʃ��₂²
Y atas X₃: Yᵢ = β₁.₃ + β₁₃X₃ᵢ + U(1.3)i
Jadi: β^₁₃ = Ʃ��₃��Ʃ��₃²
X₂ atas X3: X₂ᵢ = β₂.₃ + β₂₃X₃ᵢ + U(2.3)i
Jadi: β^₂₃ = Ʃ��₂��₂Ʃ��₃²
Model regresi: Y₁ = β₁ + β₂X₂ᵢ + β₃X₃ᵢ + Uᵢ juga dapat ditulis sebagai: Yᵢ = β₁.₂₃ + β₁₂.₃X₂ᵢ + β₁₃.₂X₃ᵢ + U(1.23)i. subskrib pertama menunjukkan variable yang dijelaskan (misalnya Y), dan subskriP selanjutnya menunjukkan variable-variabel penjelas. Tanda “titik” pada subskrib digunakan untuk membedakan antara variable penjelas yang diperhitungkan dengan variable penjelas lainnya dalam regresi.
Dalam regresi sederhana, β₁₂ dan β₁₃ masing-masing menunjukkan pengaruh dari X₂ dan X₃ terhadap Y, sedangkan β₂₃ mewakili pengaruh X₂ terhadap X₃. oleh karena hanya erdapat satu variable penjelas (dalam regresi sederhana), maka subskrib koefisiennya tidak menggunakan tanda “titik”.
Koefisien β₁₂.₃ menunjukkan adanya variable X₃ (karena setelah tanda “titik” pada subskribnya terlihat angka “3”) tetapi hanya mewakili pengaruh X₂ terhadap Y. begitu juga koefisien β₁₃.₂ menunjukkan adanya X₂ dalam model namun koefisien itu hanya mewakili penggaruh X₃ terhadap Y. selanjutnya, β₁.₂₃ adalah factor konstanta yang menunjukkan adanya X₂ dan X₃ dalam model regresi. Koefisien regresi berganda: β₁₂.₃ dan β₁₃.₂ biasanya disebut sebagai koefisien regresi parsial. Hubungan antara taksiran dan koefisien regresi β₁₂, β₁₃, dan β₂₃ adalah sebagai berikut:
Bagilah pembilang dan penyebut dari (7.12) dan (7.13) dengan ƩX₂²X₃²:
β^₁₂.₃ = β^₂ = Ʃ����Ʃ��₂2−(Ʃ��2��3Ʃ��₃2)(Ʃ��3��Ʃ��₃2)1−(Ʃ��2��3Ʃ��₂2)(Ʃ��2��3Ʃ��₃2) = ��^₁₂ −��^₃₂��^₁₃1−��^₃₂��₂₃
β^₁₃.₂ = β^₃ = Ʃ��3��Ʃ��₂2−(Ʃ��2��3Ʃ��₃2)(Ʃ��2��Ʃ��₃2)1−(Ʃ��2��3Ʃ��₂2)(Ʃ��2��3Ʃ��₃2) = ��^ ₁₃−��^₂₃��^₁₂1−��^₃₂��^₂₃
jika dalam sampel tersebut, variable X₂ dan X₃ tidak berkorelasi maka tidak hanya r₂₃² yang akan sama dengan nol, tetapi juga β^₂₃ dan β^₃₂. Dalam kasus semacam ini, β^₁₂.₃ = β₁₃.₂ = β^₁₃; artinya koefisien regresi sederhana adalah sama dengan koefisien regresi parsial.
7.3. sifat-sifat statistic taksiran parameter β^₁, β^₂, dan β^₃
Untuk menyelidiki sifat-sifat statistic dari taksiran yang merupakan koefisien-koefisien dalam persamaan: Yᵢ = β₁ + β₂X₂ᵢ + β₃X₃ᵢ + Uᵢ dengan metode kuadrat terkecil, diperlukan beberapa asumsi variable random U. Asumsi-asumsi ini sama dengan asumsi dalam regresi sederhana, yaitu:
Asumsi 1: Uᵢ adalah sebuah variable random yang memiliki distribusi normal.
Asumsi 2: nilai rerata dari Uᵢ untuk setiap Xᵢ adalah nol; E[Uᵢ] = 0
Asumsi 3: varian setiap Uᵢ adalah sama untuk semua nilai Xᵢ; E(Uᵢ²) = δᵤ² (δᵤ² adalh suatu konstanta).
Asumsi 4: nilai-nilai Uᵢ (yang berkaitan dengan Xᵢ) tidak tergantung pada nilai-nilai Uᵢ (yang berkaitan dengan Xᵢ); E(UᵢUj) = 0, untuk i # j.
Asumsi 5: tiap-tiap factor gangguan Uᵢ tidak tergantung pada variable bebas atau variable penjelas;
E(X₂ᵢUᵢ) = X₂ᵢE(Uᵢ) = 0
E(X₃ᵢUᵢ) = X₃ᵢE(Uᵢ) = 0
(a). Linier
dari (7.12), diketahui bahwa β^₂ = Ʃ��2��.Ʃ��₃²−Ʃ��₂��₃.Ʃ��₃��Ʃ��22.Ʃ��₃²−(Ʃ��₂��₃)²
dengan menggunakan hasil-hasil,
ƩX₂y = ƩYᵢ(X₂ᵢ-Xbar₂)-ῩƩ(X₂ᵢ-Xbar₂)
= ƩYᵢ(X₂ᵢ-Xbar₂)
= ƩX₂Yᵢ
Dan ƩX₃y = ƩYᵢ(X₃ᵢ-Xbar₃) - ῩƩ(X₃ᵢ-Xbar₃)
= ƩYᵢ(X₃ᵢ-Xbar₃)
= ƩX₃Yᵢ
Yang menyatakan bahwa β^₂ merupakan fungsi linier dari Yᵢ.
Pembuktian yang sama dapat dilakukan untuk β^₃ dan β^₁.
(b). “unbiasedness”
Yᵢ = β₁ + β₂x₂ᵢ + β₃x₃ᵢ + uᵢ
Dan yᵢ = β₂X₂ᵢ + β₃X₃ᵢ + Uᵢ + Ū
(c). Varian Sampling
Dari (7.16) diperoleh:
Var(β^₂) = E*(β^₂ - β₂)²+ = E *(Ʃ��3ᵢ2Ʃ��2ᵢ��ᵢ−Ʃ��2ᵢ��3ᵢƩ��3ᵢ��ᵢ)²Ʃ��2ᵢ2Ʃ��3ᵢ2−(Ʃ��₂ᵢ��₃ᵢ)²
7.3.1. Uji Signifikansi Terhadap Taksiran Parameter
Uji signifikansi terhadap taksiran parameter yang biasa dipakai adalah “uji kesalahan baku” (standard error test), yang setara dengan “uji student t”
(a). Uji Kesalahan Baku
SE*β^₂+ = ������(��2) = ��Ʃ��₃ᵢ²Ʃ��₂ᵢ2Ʃ��₃ᵢ2−(Ʃ��₂ᵢ��₃ᵢ)²
Dimana:
��² = Ʃ��ᵢ²��−3
(b) Uji Student-t terhadap hipotesis nol
Ratio t untuk setiap β^ᵢ adalah:
t* = ��^ᵢ−��ᵢ����(��^ᵢ)
yang disebut distribusi t dengan derajat bebas (n-k)
Dalam contoh t* = ��^₂−��₂����(��^₂) dengan derajat bebas (n-3)
Jika hipotesis nol adalah β₂ = 0, maka t* = ��^₂����(��^₂)
7.3.2. Goodness Of Fit (R²)
Berdasarkan (5.25) R²=1 - Ʃ��ᵢ²Ʃ��ᵢ²
R² = ��2Ʃ��2ᵢ��ᵢ+��^₃Ʃ��₃ᵢ��ᵢƩ��ᵢ²
7.5 Model Umum Regresi Linear (General Linear Regression Model)
Sejauh ini telah dibahas model-model regresi yang mempunyai satu atau dia variable bebas. Model ini dapat diperluas dengan mengansumsikan bahwa model mengandung sejumlah “k” variable bebas. Bentuknya jadi:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ….. + βkXk + U
Jumlah parameter yang ditaksir adalah K = k + 1. Penaksir-penaksir kuadrat terkeecil dari parameter-parameter yang takdiketahui diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu:
Σei2 = Σ (Yi – β0 – β1X1i – β2X2i - ….. – βkXki)2
Terhadap βj [j = 1,2,.., (k + 1)]. Kemudian, turunan parial ini disamakan dengan nol untuk mendapatkan persamaan-persamaan normal.
δΣei2/δβ0 = -2Σ (Yi – β0 – β1X1i - … - βkXki) = 0
δΣei2/δβ1 = -2ΣX1i(Yi–β0 -β1X1i - … - βkXki) = 0
… … … … … … …
… … … … … … …
δΣei2/δβk = -2ΣXki(Yi–β0 -β1X1i - … - βkXki) = 0
Bentuk umum dari persamaan persamaan di atas (kecuali yang pertama) adalah sebagai berikut:
δΣei2/δβj = -2ΣXjii(Yi–β0 -β1X1i - … - βkXki) = 0
(j = 1,2,…,k)
Jadi, model umum tersebut merupakan perluasan dari model regresi sederhana. Namun, seperti yang akan dijelaskan dibawah ini, persamaan-persamaan normal suatu model mempunyai jumlah variable bebas berapapun, dapat diturunkan dengan cara mekanis, tanpa mempergunakan diferensial.
(I) Model regresi dengan satu variable bebas:
Bentuk struktural : Yi = β0 + β1X1i + Ui
Bentuk Dasar : Yi = β0 + β1X1i
Persamaan Normal : ΣYi = nβ0 + β1ΣX1i
ΣYi = β0ΣX1i + β1ΣX1i2
(II) Model regresi dengan dua variable bebas:
Bentuk structural : Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + Ui
Bentuk dasar : Yi = β0 + β1X1i + β2X2i
Persamaan Normal : ΣYi = nβ0 + β1ΣX1i + β2ΣX2i
ΣYiX1i= β0ΣX1i + β1ΣX1i2 + β2ΣX1iX2i
ΣYiX2i= β0ΣX2i + β1ΣX1iX2i + β2ΣX2i2
Perluasan dari prosedur ini untuk model dengan k-variabel bebas tentu saja bisa dilakukan. Misalnya persamaan yang ke-k model tersebut bisa diperoleh dengn mengalikan bentuk dasar model k-variabel itu dengan Xk , dan kemudian menjumlahkan seluruh pengamatan sampel.
7.5.1 Perluasan Persamaan Varian Taksiran Parameter
(I). Dalam model regresi satu variable bebas:
Yi = β0 + β1X1i + U
Var (β1) = σu2 / Σx1i2
(II). Dalam model regresi dengan dua variable bebas:
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + Ui
Var(β1) = σu2Σx2i2 / Σx1i2Σx2i2 – (Σx1ix2i)2
Var(β2) = σu2Σx1i2 / Σx1i2Σx2i2 – (Σx1ix2i)2
Varian-varian tersebut dapat dibuat dalam bentuk determinan. Dalam bentuk deviasi, persamaan-persamaan normal dari model dengan dua variable bebas adalah:
Σx1y = β1Σx12 + β2Σx1x2
Σx2y = β1Σx1x2 + β2Σx22
(III) Model regresi dengan tiga variable bebas
` Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + β2X2i + Ui
7.5.2. Perluasan Formula R2
(I). Model dengan satu variable bebas:
R2 = β1Σx1iyi/ Σyi2
(II). Model dengan dua variable bebas:
R2 = β1Σx1iyi + β2Σx2iyi/ Σyi2
Dari dua formula di atas, dapat diamati untuk setiap tambahan variable bebas terdapat sebuah factor tambahan dan pembilang.
7.5.3. Koefisien Determinasi yang Disesuaikan
Perlu diketahui bahwa R2 adalah sebuh fungsi yang tidak pernah menurun dari jumlah variable bebas yang terdapat dalam model regresi.
R2 = ESS/ TSS = 1 - Σei2/ Σyi2
Berikut ini adalah sifat-sifat yang dibutuhkan oleh penafsiran-penafsiran dalam bentuk matrik :
1.Linear : β = (XX)¹ X’Y
β = (X’X)¹ X’ (Xβ + U)
β = β + (X’X)¹ X’U….karena (X’X)¹ XX =1
Persamaan di atas menyatakan bahwa β Adalah fungsi linear dari β dan U
2.Urbiased
E(β) = E*β+ + (X’X)¹ X’U
=E *β++ E* (X’X)¹ X’U+
= β + (X’X) ¹ X’E *U+
= β ,karena E *U+ = 0
Terbukti bahwa β merupakan penafsiran kuadrat kecil yang tidakl bias (Unbuased)
3.Varian Sampling
Diketahui bahwa Var (β) = *(β – β)²+
Var(β) = *(β – β) (β – β)’+
Matrik di atas adalah matriks simetris yang mengandung varian dari menafsir doi sepanjang diagonal utamanya,dank ovarian penafsir pada elemen-elemen lainnya.Oleh karena itu,matriks ini disebut Matriks varian-kovarian dari penafsir-penafsir kuadratterkecil lereng (slop) regresi.
4.Varian minimum dari β
Untuk menunjukkan bahwa semua βᵢ dalam vektor βadalah penaksiran-penaksiran terbaik (Best Estimators),harus dibuktikan varian yang diperolehpada (7.26) adala terkecil dianatara semua varian penaksiran lain yang mungkin linear yang tidak bias.Dengan produsen yang sama seperti model dengan satu variable bebas,pertama-tama asumsikan sebuah penaksiran alternative yang linear yang tidak bias,kemudian dibuktikan variannya lebih besar dari pada varian penaksir model regresi.
Misalnya,β adalah penaksiran alternative yang linear yang tidak bias bagin β,angaplah bahwa
β = *X’X)¹ X’ +B+ Y dimana B adalah matrik konstanta (k x n) yang diketahui.
Sehingga β = *(X’X)¹ X’ +B *XB +U+
β =(X’X)¹ X’ (Xβ +U)+B(Xβ +U)
E*B+=E*X’X)¹ X’ (Xβ +U) + B (Xβ +U)+
=*X’X)¹X’Xβ + (X’X)¹ XIU +BXβ +BU+
=β + BXβ…..*karena E (U) = 0+.
Oleh Karena diasumsikan β merupakan penaksiran yang tidak bias bagi β,maka E*β+ seharusnya sama dengan β; atau dengan kata lain, (BXβ) seharusnya merupakan matrik nol (null matrix)
Jadi dapat dikatakan BX seharusnya = 0 jika β = *X’X)¹ X’ +B)Y adalah penaksiran yang tidak bias,
Var (β) =E (β – β)(β-β)’+
=E [{(X’X)¹ X’ +B+Y-β- ,*(X’X)¹X’+B+Y-β-’+
=E[{(X’X)¹ X’+B+(Xβ +U-β-,*X’X)¹ X’ +B -(Xβ+U)-β-’+
=E[{(X’X)¹X’Xβ + (X’X)¹X’U+BXβ +BU-β-
,(X’X)¹ X’Xβ + (X’X)¹ X’U +BXβ +BU-β-’+
=E[{(X’X)¹ X’U +BU-,X’X)¹X’U+BU-’+ (karena BX =0)
=E*,(X’X)¹ X’U+BU- ,U’X(X’X)¹+U’B’-+
=E*,(X’X)¹ X’+B- UU’,X(X’X)¹ +B’-
= ᵟᵤ² I,(X’X)¹X’X(X’X) +B-,X(X’X)¹ +B’-
=ᵟᵤ²,(X’X)¹X’X(X’X)¹ +BX(X’X)¹ +BX(X’X)¹ +(X’X)¹ X’B’+BB’-
=ᵟᵤ²,(X’X)¹ +BB’-….. (karena B X = 0),maka
=ᵟᵤ²,(X’X)¹ +ᵟᵤ² BB’
Atau dengan kata lain,var (β) lebih besar dari pada var (β) dengan kelebihan sebesar ᵟᵤBB’),dan membuktikan bahwa β adalah penaksiran terbaik (the best estimato)
7.6.2.Koefisien Determinasi (R²)
Σeᵢ² = e’e = Y’Y -2β’X’Y + β’X’Xβ
Oleh karena (X’X)β = X’Y,maka:
e’e = y’y-2β’X’Y + β’X’Y
e’e = Y’Y-β’X’Y
β’X’Y = Y’Y – e’e
D iketahui bahwa : yᵢ = Y - Ῡ
Σyᵢ² = Σyᵢ²- 1�� (ΣYᵢ)²
Dalam bentuk matriks: ΣYᵢ² = Y’Y
Σyᵢ² = Y’Y - 1�� (ΣYᵢ)²
Persamaan (7.30) merupakan variasi kuadrat total atauTSS (Total sum of variations)dalam model.Jumlah kuadrat yang bias dijelaskan (Explained Sum of Squares) atau ESS adalah :
= Σyᵢ² - Σeᵢ²
= Y’Y- (1/n)(ΣYᵢ)² - e’e
= Y’Y – e’e- (1/n)(ΣYᵢ)²
= β’X’Y – (1/n)(ΣYᵢ)²
Oleh karena R² =Jumlah kuadrat yang bisa dijelaskan (ESS)Jumlah total kuadrat (TSS)
Maka : R² =β′X′Y− 1n ( Yᵢ)²Y′Y− )(1/n)( Yᵢ)²=β′X;Y−n Ῡ²Y′Y−n Ῡ
7.6.3.Ringkasan Hasil-hasil
Dalam notasi matriks,hasil estimasi model dengan K variable bebas diringkas berikut ini :
(i) Model Y = Xβ +U
(ii) Penaksiran-penaksiran β = (X’X)¹ X’Y
(iii) Varian-Kovarian Var(β) = ᵟᵤ² (X’X)¹
(iv) Penaksiran (e’e) = Y’Y – β’X’Y
(v) Koefisien Determinasi R² = β′X′Y−(1n)( Yᵢ)²Y′Y− 1n ( Yᵢ)²
R² = β′X′Y−n Ῡ²Y′Y−nῩ²
7.6.4. Aplikasi matriks dan regresi Contoh: untuk menaksir fungsi linear : Y = α + β₁X₁ + β₂X₂+β₃X₃ +U,digunakan pada table 7.2 Dalam notasi matriks : β = (X’X)¹ X’Y yang elemen-elemenya berbentuk deviasi adalah sebagai berikut
��= ��₁���� ��₃ X = ��₁₁��₁₂…..��₃₁��₁₂��₂₂…..��₃₂⋮⋮⋮��₁����₂��…..��₃�� Sehingga :
(X’X) = ��₁² ��₁��₂ ��₁��₃ ��₁��₂ ��₁��² ��₂��₃ ��₁��₃ ��₂��₃ ��₃² dan X’Y = ��₁�� ��₂�� ��₃��
(i) Dengan mensubsitusikan nilai-nilai yang sesuai dari table 7.2,maka :
(X’X) = 270240−330240630−420−330−420750 dan X’Y 319492−625
Catatan:Perhitungan akan lebih mudah kalau mengambil 30 sebagai factor umum dari seluruh elemen matriks (X’X).Hal ini akan mempengaruhi hasil akhir.
(X’X) = 270240−330240630−420−330−420750 = 4716000(X’X)¹ = 0,0085−0,00120,0031−0,00120,00270,00090,00310,0029 0,0032
Jadi : β= ��₁��₂��₃ = (X’X)¹ X’Y = 0,0085−0,00120,0031−0,00120,00270,00090,00310,00290,0032 319492−625 = 0,20630,33090,0032
Dan: α = Ῡ - β₁X₁-β₂X₂-β₃X₃
= 52 – (0,2063)(42) – (0,3309)(62) – (-0,5572)(200)
=52 –8,6633-20,5139 + 111,4562 = 134,2789.
(ii). Elemen-elemen pada diagonal utama (X’X)¹ kalau dikalikan dengan ᵟᵤ² akan menunjukkan varian-varian parameter-parameter regresi,yaitu:
Var (β₁) = ᵟᵤ² (0,0085)
(β₂) = ᵟᵤ² (0,0027)
ᵟᵤ² = ��ᵢ²��−�� = 17,116 = 2,851
(β₃) = ᵟᵤ² (0,0032)
Sehingga: Var(β₁) = 0,0243 → SE (β₁) = 0,1560
Var(β₂)=0,0077 → SE (β₂) = 0,0877
Var(β₃)=0,0039 → SE (β₃) = 0,0962
(iii)Koefisien determinasi (R²) :
R² = β′XY−(1n)( Yᵢ)²Y′Y−(1n)( Yᵢ²=β₁ x1y +β₂ x2y +β₃ x₃y yᵢ² = 575,89594 = 0,97
(iv). Ringkasan hasil-hasil taksiran tersebut disajikan sebagai berikut:
Ῡ = 134,28 + 0,2063X₁+ 0,3309X₂ - 0,5572X₃
SE(βᵢ) (0,1560) (0,0877) (0,5572)
t* (1,3221) (0,0877) (0,0962)
R² = 0,97 Variabel-variabel X₁,X₂ dan X₃,menjelaskan 97% dari seluruh variasi yang terjadi pada.Y.Hanya X₁ yang tidak signifikan secara statistic. Contoh 2. Matriks berikut ini menunjukkan varian dank ovarian model dengan model tiga variable:
X₁ X₂ X₃
��₁��₂��₃ 7,593,1226,99−29,1630,80−−133,00 Dimana X₁ : log konsumsi makanan perkapita: X₂ : log harga makanan:dan X₃:, log penghasilan siap pakai per kapita.
Taksirlan fungsi (untuk n= 20) : Y₁ = AY₂ᵟY₃(Xᵢ = log Yᵢ)
β = αβ dan X = x₂₁x₃₁x₂₂x₃₂x₂nx₃n x’x = ��₂² ��₁��₂ ��₃��₂ ��₃² dan X’Y = X₂y X₃y
Dengan mensubsitusikan nilai-nilai yang sesuai dari matriks varian-kovarian di atas,maka diperoleh:
X’X = 29,1630,8030,80133,00 dan X’Y = 3,1226,99 XX = 29,1630,8030,80133,00 = 2929,64
Jadi: (X’X)¹ = 12929,64 133,00−30,80−30,80 29,16 = 0,0454−��,0105−0,01050,0099
(i).β = (X’X);X’Y = αβ = 0,0454−0,01050,01050,0099 3,1226,99 = −0,14120,2358
(ii).Elemen-elemen dalam diagonalutama pada matriks (X’X);kalau dikalikan dengan ᵟᵤ² meneghasilkan varian-varian dari α dan β. Untuk dapat mendapatkan Σeᵢ² dibutuhkan R²
(ii).Koefisien Determinasi (R²)
R² = �� ��2��+�� ��₃�� ��ᵢ² = − 0,1421 3,12 + 0,2358 26,99 7,59
R² = 0,78
Σeᵢ² = (1-R<)(Σyᵢ²) = 1,6680
ᵟᵤ² = 1,668017 = 0,0981
Var(α) = (0,0981)(0,0454) = 0,0045 → SE(α) = 0,0667
Var(β) =(0,0981)(0,0099) = 0,0009 → SE (β) = 0,0312
(iv).Ringkasan hasilnya bias disajikan sebagai berikut ini :
Ῡ = A Y₂⁻:′;><; Y₃:′<=?⁸
R² = 0,78
SE = (0,0667)(0,0312)
t* = (-2,13)(7,55)
Elastisitas harga makanan (konstan) adalah negative,sedangkan elastisitas penghasilan positif,dan signifikan.Sekitar 78% variasi dalam konsumsi makanan dijelaskan oleh harga makanan dan penghasilan konsumen.
REGRESI BERGANDA : PENAKSIRAN DAN INFERENSI
Oleh :
Nama Kelompok :
Nurbaiza Marlisa ( 1305102010028 )
Syarifah Ulfami ( 1305102010054 )
Ismatur Rahmi ( 1305102010076 )
May Setyo Ningsih ( 1305102010077 )
Naziratil Husna ( 1305102010080 )
Delsan Maulana ( 1305102010090 )
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS SYIAH KUALA
DARUSSALAM-BANDA ACEH 2015
REGRESI BERGANDA:
PENAKSIRAN DAN INFERENSIASI
7.1. Regresi Berganda
Dengan menganggap Y = f(X2, X3) dan hubungan fungsional; f, adalah linear, maka model regresi berganda (model regression model) untuk tiga variable dapat dinyatakan dalam bentuk:
Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + Ui (7.1)
(i = 1, …, n)
Ingat, variable bebasnya adalah X1i, X2i, dan X3i dengan catatan X1i selalu sama ddengan satu, sehingga tidak perlu ditulis pada persamaan (7.1).
Nilai-nilai β1, β2, dan β3 ditaksir dengan metode kuadrat terkecil (least Square Method) dan menggunakan sampel sebanyak n. pada pembahasan terdahulu telah diketahui kesalahan, ei = Yi – Y^i
Atau
ei = Yi – Y^I = Yi – β^1 – β^2X2i – β3X3i
sehingga:
��i2 = (Yi - β^1 – β^2X2i – β3X3i)2
Penaksiran-penaksiran kuadrat terkecil β1, β2, dan β3, diperoleh dengan menghitung turunan pertama (secara parsial) dari ��i2 terhadap β^1, β^2, dan β^3, dan kemudian disamakan dengan nol:
�� ��i2δβ^1 = -2 (Y1 - β^1 – β^2X2i – β3X3i) = 0 (7.3)
�� ��i2δβ^1 = -2 ��2i(Y1 - β^1 – β^2X2i – β3X3i) = 0 (7.4)
�� ��i2δβ^1 = -2 ��3i(Y1 - β^1 – β^2X2i – β3X3i) = 0 (7.5)
Dengan menjumlahkan dari 1 sampai dengan n, diperoleh tiga persamaan normal:
��I = nβ^1 + β2 ��2i + β3 ��3i (7.6)
��2iY1 = β^1 ��2i + β2 ��2i2 + β3 ��2iX3i (7.7)
��3iY1 = β^1 ��3i + β2 ��2iX3i + β3 ��3i2 (7.8)
Dari (7.6) diperoleh β^1:
β^1 = Ῡ - β^2Xbar2 - β^3Xbar3
substitusikan β^1 ke dalam (7.7) dan (7.8) diperoleh:
��2iYi = (Ῡ - β^2Xbar2 - β^3Xbar3) ��2i + β2 ��2i2 + β3 ��2iX3i
��3iYi = (Ῡ - β^2Xbar2 - β^3Xbar3) ��3i + β2 ��2iX3i + β3 ��3i2
Atau:
��2iYi - Ῡ ��2i = β^2( ��2i2– Xbar2 ��2i) + β^3( ��2iX3i – Xbar ��2i)
��3iYi - Ῡ ��3i = β^2( ��2iX3i – Xbar2 ��3i) + β^3 ( ��3i2 - Xbar ��3i)
Dengan:
��iYi - Ῡ ��I = [(Xi – Xbar)(Yi - Ῡ)] = ��iYi
��i2 - Xbar ��I = [(Xi – Xbar)2 = ��i2
Maka diperoleh persamaan-persamaan normal dalm bentuk variasi:
��2y = β^2 ��22 + β^3 ��2X3 (7.10)
��3y = β^2 ��2X3 + β^3 ��32 (7.11)
Dengan menggabungkan (7.10) dan (7.11) diperoleh β^2 dan β^3
β^₂ = Ʃx2y.Ʃx2− Ʃx2x3.Ʃx₃yƩx22.Ʃx32−(Ʃx2x2)² (7.12)
β^₃ = Ʃx₃y.Ʃx₂² − Ʃx₂x₃.Ʃx₂yƩ��32.Ʃ��32−(Ʃ��2��3)² ( 7.13)
7.2 Hubungan antara koefisien regresi sederhana dengan koefisien regresi berganda.
Persamaan (7.12) dan (7.13) dapt ditulis dalam bentuk definisi koefisien regresi sederhana, sebagai berikut:
Y atas X₂: Yᵢ = β₁.₂ + β₁₂X₂ᵢ + U(1.2)i
Jadi: β^₁₂ = Ʃ��₂��Ʃ��₂²
Y atas X₃: Yᵢ = β₁.₃ + β₁₃X₃ᵢ + U(1.3)i
Jadi: β^₁₃ = Ʃ��₃��Ʃ��₃²
X₂ atas X3: X₂ᵢ = β₂.₃ + β₂₃X₃ᵢ + U(2.3)i
Jadi: β^₂₃ = Ʃ��₂��₂Ʃ��₃²
Model regresi: Y₁ = β₁ + β₂X₂ᵢ + β₃X₃ᵢ + Uᵢ juga dapat ditulis sebagai: Yᵢ = β₁.₂₃ + β₁₂.₃X₂ᵢ + β₁₃.₂X₃ᵢ + U(1.23)i. subskrib pertama menunjukkan variable yang dijelaskan (misalnya Y), dan subskriP selanjutnya menunjukkan variable-variabel penjelas. Tanda “titik” pada subskrib digunakan untuk membedakan antara variable penjelas yang diperhitungkan dengan variable penjelas lainnya dalam regresi.
Dalam regresi sederhana, β₁₂ dan β₁₃ masing-masing menunjukkan pengaruh dari X₂ dan X₃ terhadap Y, sedangkan β₂₃ mewakili pengaruh X₂ terhadap X₃. oleh karena hanya erdapat satu variable penjelas (dalam regresi sederhana), maka subskrib koefisiennya tidak menggunakan tanda “titik”.
Koefisien β₁₂.₃ menunjukkan adanya variable X₃ (karena setelah tanda “titik” pada subskribnya terlihat angka “3”) tetapi hanya mewakili pengaruh X₂ terhadap Y. begitu juga koefisien β₁₃.₂ menunjukkan adanya X₂ dalam model namun koefisien itu hanya mewakili penggaruh X₃ terhadap Y. selanjutnya, β₁.₂₃ adalah factor konstanta yang menunjukkan adanya X₂ dan X₃ dalam model regresi. Koefisien regresi berganda: β₁₂.₃ dan β₁₃.₂ biasanya disebut sebagai koefisien regresi parsial. Hubungan antara taksiran dan koefisien regresi β₁₂, β₁₃, dan β₂₃ adalah sebagai berikut:
Bagilah pembilang dan penyebut dari (7.12) dan (7.13) dengan ƩX₂²X₃²:
β^₁₂.₃ = β^₂ = Ʃ����Ʃ��₂2−(Ʃ��2��3Ʃ��₃2)(Ʃ��3��Ʃ��₃2)1−(Ʃ��2��3Ʃ��₂2)(Ʃ��2��3Ʃ��₃2) = ��^₁₂ −��^₃₂��^₁₃1−��^₃₂��₂₃
β^₁₃.₂ = β^₃ = Ʃ��3��Ʃ��₂2−(Ʃ��2��3Ʃ��₃2)(Ʃ��2��Ʃ��₃2)1−(Ʃ��2��3Ʃ��₂2)(Ʃ��2��3Ʃ��₃2) = ��^ ₁₃−��^₂₃��^₁₂1−��^₃₂��^₂₃
jika dalam sampel tersebut, variable X₂ dan X₃ tidak berkorelasi maka tidak hanya r₂₃² yang akan sama dengan nol, tetapi juga β^₂₃ dan β^₃₂. Dalam kasus semacam ini, β^₁₂.₃ = β₁₃.₂ = β^₁₃; artinya koefisien regresi sederhana adalah sama dengan koefisien regresi parsial.
7.3. sifat-sifat statistic taksiran parameter β^₁, β^₂, dan β^₃
Untuk menyelidiki sifat-sifat statistic dari taksiran yang merupakan koefisien-koefisien dalam persamaan: Yᵢ = β₁ + β₂X₂ᵢ + β₃X₃ᵢ + Uᵢ dengan metode kuadrat terkecil, diperlukan beberapa asumsi variable random U. Asumsi-asumsi ini sama dengan asumsi dalam regresi sederhana, yaitu:
Asumsi 1: Uᵢ adalah sebuah variable random yang memiliki distribusi normal.
Asumsi 2: nilai rerata dari Uᵢ untuk setiap Xᵢ adalah nol; E[Uᵢ] = 0
Asumsi 3: varian setiap Uᵢ adalah sama untuk semua nilai Xᵢ; E(Uᵢ²) = δᵤ² (δᵤ² adalh suatu konstanta).
Asumsi 4: nilai-nilai Uᵢ (yang berkaitan dengan Xᵢ) tidak tergantung pada nilai-nilai Uᵢ (yang berkaitan dengan Xᵢ); E(UᵢUj) = 0, untuk i # j.
Asumsi 5: tiap-tiap factor gangguan Uᵢ tidak tergantung pada variable bebas atau variable penjelas;
E(X₂ᵢUᵢ) = X₂ᵢE(Uᵢ) = 0
E(X₃ᵢUᵢ) = X₃ᵢE(Uᵢ) = 0
(a). Linier
dari (7.12), diketahui bahwa β^₂ = Ʃ��2��.Ʃ��₃²−Ʃ��₂��₃.Ʃ��₃��Ʃ��22.Ʃ��₃²−(Ʃ��₂��₃)²
dengan menggunakan hasil-hasil,
ƩX₂y = ƩYᵢ(X₂ᵢ-Xbar₂)-ῩƩ(X₂ᵢ-Xbar₂)
= ƩYᵢ(X₂ᵢ-Xbar₂)
= ƩX₂Yᵢ
Dan ƩX₃y = ƩYᵢ(X₃ᵢ-Xbar₃) - ῩƩ(X₃ᵢ-Xbar₃)
= ƩYᵢ(X₃ᵢ-Xbar₃)
= ƩX₃Yᵢ
Yang menyatakan bahwa β^₂ merupakan fungsi linier dari Yᵢ.
Pembuktian yang sama dapat dilakukan untuk β^₃ dan β^₁.
(b). “unbiasedness”
Yᵢ = β₁ + β₂x₂ᵢ + β₃x₃ᵢ + uᵢ
Dan yᵢ = β₂X₂ᵢ + β₃X₃ᵢ + Uᵢ + Ū
(c). Varian Sampling
Dari (7.16) diperoleh:
Var(β^₂) = E*(β^₂ - β₂)²+ = E *(Ʃ��3ᵢ2Ʃ��2ᵢ��ᵢ−Ʃ��2ᵢ��3ᵢƩ��3ᵢ��ᵢ)²Ʃ��2ᵢ2Ʃ��3ᵢ2−(Ʃ��₂ᵢ��₃ᵢ)²
7.3.1. Uji Signifikansi Terhadap Taksiran Parameter
Uji signifikansi terhadap taksiran parameter yang biasa dipakai adalah “uji kesalahan baku” (standard error test), yang setara dengan “uji student t”
(a). Uji Kesalahan Baku
SE*β^₂+ = ������(��2) = ��Ʃ��₃ᵢ²Ʃ��₂ᵢ2Ʃ��₃ᵢ2−(Ʃ��₂ᵢ��₃ᵢ)²
Dimana:
��² = Ʃ��ᵢ²��−3
(b) Uji Student-t terhadap hipotesis nol
Ratio t untuk setiap β^ᵢ adalah:
t* = ��^ᵢ−��ᵢ����(��^ᵢ)
yang disebut distribusi t dengan derajat bebas (n-k)
Dalam contoh t* = ��^₂−��₂����(��^₂) dengan derajat bebas (n-3)
Jika hipotesis nol adalah β₂ = 0, maka t* = ��^₂����(��^₂)
7.3.2. Goodness Of Fit (R²)
Berdasarkan (5.25) R²=1 - Ʃ��ᵢ²Ʃ��ᵢ²
R² = ��2Ʃ��2ᵢ��ᵢ+��^₃Ʃ��₃ᵢ��ᵢƩ��ᵢ²
7.5 Model Umum Regresi Linear (General Linear Regression Model)
Sejauh ini telah dibahas model-model regresi yang mempunyai satu atau dia variable bebas. Model ini dapat diperluas dengan mengansumsikan bahwa model mengandung sejumlah “k” variable bebas. Bentuknya jadi:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ….. + βkXk + U
Jumlah parameter yang ditaksir adalah K = k + 1. Penaksir-penaksir kuadrat terkeecil dari parameter-parameter yang takdiketahui diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu:
Σei2 = Σ (Yi – β0 – β1X1i – β2X2i - ….. – βkXki)2
Terhadap βj [j = 1,2,.., (k + 1)]. Kemudian, turunan parial ini disamakan dengan nol untuk mendapatkan persamaan-persamaan normal.
δΣei2/δβ0 = -2Σ (Yi – β0 – β1X1i - … - βkXki) = 0
δΣei2/δβ1 = -2ΣX1i(Yi–β0 -β1X1i - … - βkXki) = 0
… … … … … … …
… … … … … … …
δΣei2/δβk = -2ΣXki(Yi–β0 -β1X1i - … - βkXki) = 0
Bentuk umum dari persamaan persamaan di atas (kecuali yang pertama) adalah sebagai berikut:
δΣei2/δβj = -2ΣXjii(Yi–β0 -β1X1i - … - βkXki) = 0
(j = 1,2,…,k)
Jadi, model umum tersebut merupakan perluasan dari model regresi sederhana. Namun, seperti yang akan dijelaskan dibawah ini, persamaan-persamaan normal suatu model mempunyai jumlah variable bebas berapapun, dapat diturunkan dengan cara mekanis, tanpa mempergunakan diferensial.
(I) Model regresi dengan satu variable bebas:
Bentuk struktural : Yi = β0 + β1X1i + Ui
Bentuk Dasar : Yi = β0 + β1X1i
Persamaan Normal : ΣYi = nβ0 + β1ΣX1i
ΣYi = β0ΣX1i + β1ΣX1i2
(II) Model regresi dengan dua variable bebas:
Bentuk structural : Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + Ui
Bentuk dasar : Yi = β0 + β1X1i + β2X2i
Persamaan Normal : ΣYi = nβ0 + β1ΣX1i + β2ΣX2i
ΣYiX1i= β0ΣX1i + β1ΣX1i2 + β2ΣX1iX2i
ΣYiX2i= β0ΣX2i + β1ΣX1iX2i + β2ΣX2i2
Perluasan dari prosedur ini untuk model dengan k-variabel bebas tentu saja bisa dilakukan. Misalnya persamaan yang ke-k model tersebut bisa diperoleh dengn mengalikan bentuk dasar model k-variabel itu dengan Xk , dan kemudian menjumlahkan seluruh pengamatan sampel.
7.5.1 Perluasan Persamaan Varian Taksiran Parameter
(I). Dalam model regresi satu variable bebas:
Yi = β0 + β1X1i + U
Var (β1) = σu2 / Σx1i2
(II). Dalam model regresi dengan dua variable bebas:
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + Ui
Var(β1) = σu2Σx2i2 / Σx1i2Σx2i2 – (Σx1ix2i)2
Var(β2) = σu2Σx1i2 / Σx1i2Σx2i2 – (Σx1ix2i)2
Varian-varian tersebut dapat dibuat dalam bentuk determinan. Dalam bentuk deviasi, persamaan-persamaan normal dari model dengan dua variable bebas adalah:
Σx1y = β1Σx12 + β2Σx1x2
Σx2y = β1Σx1x2 + β2Σx22
(III) Model regresi dengan tiga variable bebas
` Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + β2X2i + Ui
7.5.2. Perluasan Formula R2
(I). Model dengan satu variable bebas:
R2 = β1Σx1iyi/ Σyi2
(II). Model dengan dua variable bebas:
R2 = β1Σx1iyi + β2Σx2iyi/ Σyi2
Dari dua formula di atas, dapat diamati untuk setiap tambahan variable bebas terdapat sebuah factor tambahan dan pembilang.
7.5.3. Koefisien Determinasi yang Disesuaikan
Perlu diketahui bahwa R2 adalah sebuh fungsi yang tidak pernah menurun dari jumlah variable bebas yang terdapat dalam model regresi.
R2 = ESS/ TSS = 1 - Σei2/ Σyi2
Berikut ini adalah sifat-sifat yang dibutuhkan oleh penafsiran-penafsiran dalam bentuk matrik :
1.Linear : β = (XX)¹ X’Y
β = (X’X)¹ X’ (Xβ + U)
β = β + (X’X)¹ X’U….karena (X’X)¹ XX =1
Persamaan di atas menyatakan bahwa β Adalah fungsi linear dari β dan U
2.Urbiased
E(β) = E*β+ + (X’X)¹ X’U
=E *β++ E* (X’X)¹ X’U+
= β + (X’X) ¹ X’E *U+
= β ,karena E *U+ = 0
Terbukti bahwa β merupakan penafsiran kuadrat kecil yang tidakl bias (Unbuased)
3.Varian Sampling
Diketahui bahwa Var (β) = *(β – β)²+
Var(β) = *(β – β) (β – β)’+
Matrik di atas adalah matriks simetris yang mengandung varian dari menafsir doi sepanjang diagonal utamanya,dank ovarian penafsir pada elemen-elemen lainnya.Oleh karena itu,matriks ini disebut Matriks varian-kovarian dari penafsir-penafsir kuadratterkecil lereng (slop) regresi.
4.Varian minimum dari β
Untuk menunjukkan bahwa semua βᵢ dalam vektor βadalah penaksiran-penaksiran terbaik (Best Estimators),harus dibuktikan varian yang diperolehpada (7.26) adala terkecil dianatara semua varian penaksiran lain yang mungkin linear yang tidak bias.Dengan produsen yang sama seperti model dengan satu variable bebas,pertama-tama asumsikan sebuah penaksiran alternative yang linear yang tidak bias,kemudian dibuktikan variannya lebih besar dari pada varian penaksir model regresi.
Misalnya,β adalah penaksiran alternative yang linear yang tidak bias bagin β,angaplah bahwa
β = *X’X)¹ X’ +B+ Y dimana B adalah matrik konstanta (k x n) yang diketahui.
Sehingga β = *(X’X)¹ X’ +B *XB +U+
β =(X’X)¹ X’ (Xβ +U)+B(Xβ +U)
E*B+=E*X’X)¹ X’ (Xβ +U) + B (Xβ +U)+
=*X’X)¹X’Xβ + (X’X)¹ XIU +BXβ +BU+
=β + BXβ…..*karena E (U) = 0+.
Oleh Karena diasumsikan β merupakan penaksiran yang tidak bias bagi β,maka E*β+ seharusnya sama dengan β; atau dengan kata lain, (BXβ) seharusnya merupakan matrik nol (null matrix)
Jadi dapat dikatakan BX seharusnya = 0 jika β = *X’X)¹ X’ +B)Y adalah penaksiran yang tidak bias,
Var (β) =E (β – β)(β-β)’+
=E [{(X’X)¹ X’ +B+Y-β- ,*(X’X)¹X’+B+Y-β-’+
=E[{(X’X)¹ X’+B+(Xβ +U-β-,*X’X)¹ X’ +B -(Xβ+U)-β-’+
=E[{(X’X)¹X’Xβ + (X’X)¹X’U+BXβ +BU-β-
,(X’X)¹ X’Xβ + (X’X)¹ X’U +BXβ +BU-β-’+
=E[{(X’X)¹ X’U +BU-,X’X)¹X’U+BU-’+ (karena BX =0)
=E*,(X’X)¹ X’U+BU- ,U’X(X’X)¹+U’B’-+
=E*,(X’X)¹ X’+B- UU’,X(X’X)¹ +B’-
= ᵟᵤ² I,(X’X)¹X’X(X’X) +B-,X(X’X)¹ +B’-
=ᵟᵤ²,(X’X)¹X’X(X’X)¹ +BX(X’X)¹ +BX(X’X)¹ +(X’X)¹ X’B’+BB’-
=ᵟᵤ²,(X’X)¹ +BB’-….. (karena B X = 0),maka
=ᵟᵤ²,(X’X)¹ +ᵟᵤ² BB’
Atau dengan kata lain,var (β) lebih besar dari pada var (β) dengan kelebihan sebesar ᵟᵤBB’),dan membuktikan bahwa β adalah penaksiran terbaik (the best estimato)
7.6.2.Koefisien Determinasi (R²)
Σeᵢ² = e’e = Y’Y -2β’X’Y + β’X’Xβ
Oleh karena (X’X)β = X’Y,maka:
e’e = y’y-2β’X’Y + β’X’Y
e’e = Y’Y-β’X’Y
β’X’Y = Y’Y – e’e
D iketahui bahwa : yᵢ = Y - Ῡ
Σyᵢ² = Σyᵢ²- 1�� (ΣYᵢ)²
Dalam bentuk matriks: ΣYᵢ² = Y’Y
Σyᵢ² = Y’Y - 1�� (ΣYᵢ)²
Persamaan (7.30) merupakan variasi kuadrat total atauTSS (Total sum of variations)dalam model.Jumlah kuadrat yang bias dijelaskan (Explained Sum of Squares) atau ESS adalah :
= Σyᵢ² - Σeᵢ²
= Y’Y- (1/n)(ΣYᵢ)² - e’e
= Y’Y – e’e- (1/n)(ΣYᵢ)²
= β’X’Y – (1/n)(ΣYᵢ)²
Oleh karena R² =Jumlah kuadrat yang bisa dijelaskan (ESS)Jumlah total kuadrat (TSS)
Maka : R² =β′X′Y− 1n ( Yᵢ)²Y′Y− )(1/n)( Yᵢ)²=β′X;Y−n Ῡ²Y′Y−n Ῡ
7.6.3.Ringkasan Hasil-hasil
Dalam notasi matriks,hasil estimasi model dengan K variable bebas diringkas berikut ini :
(i) Model Y = Xβ +U
(ii) Penaksiran-penaksiran β = (X’X)¹ X’Y
(iii) Varian-Kovarian Var(β) = ᵟᵤ² (X’X)¹
(iv) Penaksiran (e’e) = Y’Y – β’X’Y
(v) Koefisien Determinasi R² = β′X′Y−(1n)( Yᵢ)²Y′Y− 1n ( Yᵢ)²
R² = β′X′Y−n Ῡ²Y′Y−nῩ²
7.6.4. Aplikasi matriks dan regresi Contoh: untuk menaksir fungsi linear : Y = α + β₁X₁ + β₂X₂+β₃X₃ +U,digunakan pada table 7.2 Dalam notasi matriks : β = (X’X)¹ X’Y yang elemen-elemenya berbentuk deviasi adalah sebagai berikut
��= ��₁���� ��₃ X = ��₁₁��₁₂…..��₃₁��₁₂��₂₂…..��₃₂⋮⋮⋮��₁����₂��…..��₃�� Sehingga :
(X’X) = ��₁² ��₁��₂ ��₁��₃ ��₁��₂ ��₁��² ��₂��₃ ��₁��₃ ��₂��₃ ��₃² dan X’Y = ��₁�� ��₂�� ��₃��
(i) Dengan mensubsitusikan nilai-nilai yang sesuai dari table 7.2,maka :
(X’X) = 270240−330240630−420−330−420750 dan X’Y 319492−625
Catatan:Perhitungan akan lebih mudah kalau mengambil 30 sebagai factor umum dari seluruh elemen matriks (X’X).Hal ini akan mempengaruhi hasil akhir.
(X’X) = 270240−330240630−420−330−420750 = 4716000(X’X)¹ = 0,0085−0,00120,0031−0,00120,00270,00090,00310,0029 0,0032
Jadi : β= ��₁��₂��₃ = (X’X)¹ X’Y = 0,0085−0,00120,0031−0,00120,00270,00090,00310,00290,0032 319492−625 = 0,20630,33090,0032
Dan: α = Ῡ - β₁X₁-β₂X₂-β₃X₃
= 52 – (0,2063)(42) – (0,3309)(62) – (-0,5572)(200)
=52 –8,6633-20,5139 + 111,4562 = 134,2789.
(ii). Elemen-elemen pada diagonal utama (X’X)¹ kalau dikalikan dengan ᵟᵤ² akan menunjukkan varian-varian parameter-parameter regresi,yaitu:
Var (β₁) = ᵟᵤ² (0,0085)
(β₂) = ᵟᵤ² (0,0027)
ᵟᵤ² = ��ᵢ²��−�� = 17,116 = 2,851
(β₃) = ᵟᵤ² (0,0032)
Sehingga: Var(β₁) = 0,0243 → SE (β₁) = 0,1560
Var(β₂)=0,0077 → SE (β₂) = 0,0877
Var(β₃)=0,0039 → SE (β₃) = 0,0962
(iii)Koefisien determinasi (R²) :
R² = β′XY−(1n)( Yᵢ)²Y′Y−(1n)( Yᵢ²=β₁ x1y +β₂ x2y +β₃ x₃y yᵢ² = 575,89594 = 0,97
(iv). Ringkasan hasil-hasil taksiran tersebut disajikan sebagai berikut:
Ῡ = 134,28 + 0,2063X₁+ 0,3309X₂ - 0,5572X₃
SE(βᵢ) (0,1560) (0,0877) (0,5572)
t* (1,3221) (0,0877) (0,0962)
R² = 0,97 Variabel-variabel X₁,X₂ dan X₃,menjelaskan 97% dari seluruh variasi yang terjadi pada.Y.Hanya X₁ yang tidak signifikan secara statistic. Contoh 2. Matriks berikut ini menunjukkan varian dank ovarian model dengan model tiga variable:
X₁ X₂ X₃
��₁��₂��₃ 7,593,1226,99−29,1630,80−−133,00 Dimana X₁ : log konsumsi makanan perkapita: X₂ : log harga makanan:dan X₃:, log penghasilan siap pakai per kapita.
Taksirlan fungsi (untuk n= 20) : Y₁ = AY₂ᵟY₃(Xᵢ = log Yᵢ)
β = αβ dan X = x₂₁x₃₁x₂₂x₃₂x₂nx₃n x’x = ��₂² ��₁��₂ ��₃��₂ ��₃² dan X’Y = X₂y X₃y
Dengan mensubsitusikan nilai-nilai yang sesuai dari matriks varian-kovarian di atas,maka diperoleh:
X’X = 29,1630,8030,80133,00 dan X’Y = 3,1226,99 XX = 29,1630,8030,80133,00 = 2929,64
Jadi: (X’X)¹ = 12929,64 133,00−30,80−30,80 29,16 = 0,0454−��,0105−0,01050,0099
(i).β = (X’X);X’Y = αβ = 0,0454−0,01050,01050,0099 3,1226,99 = −0,14120,2358
(ii).Elemen-elemen dalam diagonalutama pada matriks (X’X);kalau dikalikan dengan ᵟᵤ² meneghasilkan varian-varian dari α dan β. Untuk dapat mendapatkan Σeᵢ² dibutuhkan R²
(ii).Koefisien Determinasi (R²)
R² = �� ��2��+�� ��₃�� ��ᵢ² = − 0,1421 3,12 + 0,2358 26,99 7,59
R² = 0,78
Σeᵢ² = (1-R<)(Σyᵢ²) = 1,6680
ᵟᵤ² = 1,668017 = 0,0981
Var(α) = (0,0981)(0,0454) = 0,0045 → SE(α) = 0,0667
Var(β) =(0,0981)(0,0099) = 0,0009 → SE (β) = 0,0312
(iv).Ringkasan hasilnya bias disajikan sebagai berikut ini :
Ῡ = A Y₂⁻:′;><; Y₃:′<=?⁸
R² = 0,78
SE = (0,0667)(0,0312)
t* = (-2,13)(7,55)
Elastisitas harga makanan (konstan) adalah negative,sedangkan elastisitas penghasilan positif,dan signifikan.Sekitar 78% variasi dalam konsumsi makanan dijelaskan oleh harga makanan dan penghasilan konsumen.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar